Nathalie Regnault a bénéficié d’une bourse de 6 mois financée par l’institut Complexys, afin de terminer une thèse dans le service de logique mathématique, supervisée par Françoise Point et défendue en septembre 2019.
La notion d’algébricité exponentielle a été introduite par A.Macintyre
dans les années 80 et est plus complexe que la notion d’algébricité. Elle
a ensuite été caractérisée par J.Kirby à l’aide de dérivations exponentielles
formelles. On s’appuie sur cette caractérisation afin d’étendre une dérivation
exponentielle à une extension de corps exponentiels. Etant donnés un corps
exponentiel K et une variété régulière V définie sur K en tant qu’ensemble
de zéros de polynômes exponentiels, on construit une extension élémentaire
L de K, et des points génériques de V dans L.
Ensuite, partant d’une théorie modèle-complète de corps exponentiels
topologiques dans lesquels on a soit un théorème des fonctions implicites,
soit une propriété de largeur, on montre que les expansions différentielles
des modèles qui sont existentiellement clos satisfont un schéma de lifting
différentiel. Dans de tels modèles le sous-corps des constantes est dense. Ce
schéma de lifting différentiel est dans l’esprit de l’axiomatisation géométrique
des corps de caractéristique 0 différentiellement clos donnée par D.Pierce et
A.Pillay.
A.Wilkie a montré la modèle-complétude de la théorie du corps ordonné
des réels équipé de la fonction exponentielle et N.Mariaule la modèle-
complétude de la théorie du corps des nombres complexes p-adiques muni
de la fonction exponentielle p-adique sur l’anneau de valuation. Nos résultats
s’appliquent aux expansions différentielles des modèles de ces deux théories.
Indépendamment, nous montrons des versions des Nullstellensätze fort
et faible pour les corps exponentiels, ainsi que d’un Nullstellensatz réel pour
les corps exponentiels partiels ordonnés.
