La défense publique de la thèse de Monsieur Quentin LAMBOTTE aura lieu le 12 juillet 2021 à 15h par vidéo-conférence via ce lien.

Promoteur de thèse: Mme Françoise Point

Résumé de la dissertation:
Le groupe des entiers (Z,+,0) et le groupe ordonné des entiers (Z,+,0,<) sont des exemples de structures modérées, c’est-à-dire avec de bonnes propriétés au sens de la théorie des modèles. Elles ont toutes les deux l’élimination des quantificateurs (après avoir ajouté dans leur langage un symbole de relation pour chaque sous-groupe non trivial de Z) et ont une théorie décidable. De plus, (Z,+,0) a une théorie superstable et (Z,+,0,<) a une théorie dépendante.
Partant de ce constat, une question se pose naturellement: est-ce que les bonnes propriétés de (Z,+,0) et (Z,+,0,<) sont préservées lorsqu’on leur ajoute de la structure? Dans sa forme la plus simple, cette question devient: étant donné R un sous-ensemble de Z, quand peut-on dire que la paire (Z,+,0,R) a une théorie superstable et quand peut-on dire que la paire (Z,+,0,<,R) a une théorie dépendante? On appellera de telles paires des paires modérées d’entiers. Cette question a fait récemment l’objet d’intenses recherches, dont [5], [3] et [4] sont des publications récentes.
L’objectif de cette thèse est de contribuer à cette question en fournissant divers exemples de paires modérées d’entiers. Une caractéristique commune à nos exemples est la croissance rapide des éléments de R. Plus précisément, nous dirons qu’un ensemble de naturels R est régulier s’il est énuméré par une suite dont les quotients successifs ont une limite strictement plus grande que 1 ou infinie et si cette limite est algébrique sur Q, alors la suite doit suivre une relation de récurrence dont le polynôme minimal est le polynôme minimal de la limite. Les puissances de 2, les nombres de Fibonacci et l’ensemble des parties entières des puissances de π sont des exemples d’ensembles réguliers. Nous démontrons que pour un ensemble régulier R, la paire (Z,+,0,R) a une théorie et a l’élimination des quantificateurs dans un langage naturel. Nous montrons aussi que la paire (Z,+,0,<,R) a l’élimination des quantificateurs dans un langage naturel et qu’elle a une théorie dépendante si R est de plus ultimement périodique modulo n pour tout n>1. Ce dernier résultat répond à une question posée dans [1] et [2]. Des résultats similaires sont obtenus lorsque (Z,+,0) est remplacé par (Q,+,0) ou (R,+,0). Une partie de cette thèse fait l’objet d’une publication [4].